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<!DOCTYPE html>

<title>Abgeleiteter Funktor</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Abgeleiteter Funktor</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Im <a href="Mathematik" title="Mathematik">mathematischen</a> <a href="Teilgebiete_der_Mathematik" title="Teilgebiete der Mathematik">Teilgebiet</a> der <a href="Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorientheorie</a> und der <a href="Homologische_Algebra" title="Homologische Algebra">homologischen Algebra</a> ist ein abgeleiteter <a href="Funktor_(Mathematik)" title="Funktor (Mathematik)">Funktor</a> (auch: derivierter Funktor) eines <a href="Exakter_Funktor" title="Exakter Funktor">links- oder rechtsexakten</a> Funktors ein Maß dafür, wie weit dieser von der Exaktheit abweicht. Die Bezeichnung rührt daher, dass analog dazu die Ableitungen einer Funktion messen, wie sehr diese von einer konstanten Funktion abweicht.

Für den Rest dieses Artikels seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> <a href="Abelsche_Kategorie" title="Abelsche Kategorie">abelsche Kategorien</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\colon C\to D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\colon C\to D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8299d81a3d96658bf9240b799a248872f36a3772.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.079ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F\colon C\to D}" loading="lazy"> ein <a href="Kategorientheorie#Funktoren" title="Kategorientheorie">kovarianter</a> <a href="Linksexakter_Funktor" class="mw-redirect" title="Linksexakter Funktor">linksexakter Funktor</a>.

Im Falle eines <a href="Kategorientheorie#Funktoren" title="Kategorientheorie">kontravarianten</a> und/oder <a href="Rechtsexakter_Funktor" class="mw-redirect" title="Rechtsexakter Funktor">rechtsexakten</a> Funktors

gilt das Entsprechende, wobei gegebenenfalls Pfeile umzudrehen und <a href="Injektives_Objekt" title="Injektives Objekt">injektive</a> durch <a href="Projektives_Objekt" title="Projektives Objekt">projektive Objekte</a> zu ersetzen sind.<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Motivation">Motivation</h2></div>

Ist

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\to A'\to A\to A''\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c38deb14faf2b1f8adf7ed6c833aaa7054d79383.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:23.832ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0\to A'\to A\to A''\to 0}" loading="lazy"></dd></dl>

exakt, so ist zwar die entsprechende Sequenz

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\to F(A')\to F(A)\to F(A'')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ed2ffb6fcf77c31388599dd0cda1de78173a8a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.706ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 0\to F(A')\to F(A)\to F(A'')}" loading="lazy"></dd></dl>

exakt, allgemein jedoch nicht die Fortsetzung durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \to 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f6366f51b1cd0055d138d6ccf9880035a5bce0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \to 0}" loading="lazy">.

Prinzipiell könnte man zwar die Sequenz – so ist der <a href="Kokern" class="mw-redirect" title="Kokern">Kokern</a> schließlich definiert – durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \to \operatorname {coker} (F(A)\to F(A''))\to 0}">

<mi>coker</mi>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \to \operatorname {coker} (F(A)\to F(A''))\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/466e497a0fb32e55022ee9089735c9dae9df0e7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.259ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \to \operatorname {coker} (F(A)\to F(A''))\to 0}" loading="lazy"> exakt

fortsetzen, aber diese Fortsetzung hinge dann vom Homomorphismus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\to A''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\to A''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ce50a7a26f8e55fead48b5f89f0fcfca3d14caf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.237ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A\to A''}" loading="lazy"> ab.

Man hätte gern eine Abhängigkeit lediglich von den Objekten.

Dass bereits eines der beteiligten Objekte die Abweichung von der Exaktheit stark einschränken kann, sieht man beispielsweise in dem Fall, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98a12527148d6ed68adc91d9b419eb4b92d58ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'}" loading="lazy"> ein <a href="Injektives_Objekt" title="Injektives Objekt">injektives Objekt</a> ist.

Dann ergibt sich nämlich, dass die Ursprungssequenz <a href="Exakte_Folge#Spaltung_einer_kurzen_exakten_Folge" class="mw-redirect" title="Exakte Folge">spaltet</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> isomorph zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'\oplus A''}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'\oplus A''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a2331979ceac78689c5f7a7552505a9e3e142bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.148ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A'\oplus A''}" loading="lazy"> ist.

Dies überträgt sich auf die Bildsequenz, die in diesem Falle also ebenfalls eine kurze exakte Sequenz ist.

Insofern liegt die Vermutung nahe, dass man (zumindest unter geeigneten zusätzlichen Voraussetzungen) allgemein eine exakte Sequenz

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\to F(A')\to F(A)\to F(A'')\to R^{1}F(A')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9158680066722c8ca319ef756bdf72f84e41864.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.116ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 0\to F(A')\to F(A)\to F(A'')\to R^{1}F(A')}" loading="lazy"></dd></dl>

finden kann, wobei das Objekt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{1}F(A')}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{1}F(A')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62070b87d0b25145cdcc06f18bd6938291194a15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.796ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R^{1}F(A')}" loading="lazy"> funktoriell von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98a12527148d6ed68adc91d9b419eb4b92d58ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'}" loading="lazy"> abhängt.

Außerdem sollte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{1}F(A')}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{1}F(A')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62070b87d0b25145cdcc06f18bd6938291194a15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.796ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R^{1}F(A')}" loading="lazy"> unter allen Kandidaten ein möglichst „einfaches“ Objekt sein; so sollte etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{1}F(A')=0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{1}F(A')=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75abb4cfda712aa893c59608ce1612910b28aa48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.057ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R^{1}F(A')=0}" loading="lazy"> gelten, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98a12527148d6ed68adc91d9b419eb4b92d58ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'}" loading="lazy"> injektiv ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Eine Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3885f050db0d7715ebeba11a07383eb252b2da6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.881ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle G^{*}}" loading="lazy"> von Funktoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G^{n}\colon C\to D}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G^{n}\colon C\to D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80dcf56e00172735c88fb624c4216669719a35be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.384ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle G^{n}\colon C\to D}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce8a1b7b3bc3c790054d93629fc3b08cd1da1fd0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.656ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq 0}" loading="lazy"> heiße δ-Funktor,

wenn es zu jeder kurzen exakten Folge

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\to A'\to A\to A''\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c38deb14faf2b1f8adf7ed6c833aaa7054d79383.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:23.832ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0\to A'\to A\to A''\to 0}" loading="lazy"></dd></dl>

natürliche Homomorphismen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta ^{n}\colon G^{n}(A'')\to G^{n+1}(A')}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta ^{n}\colon G^{n}(A'')\to G^{n+1}(A')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/741c214bc01c7c5665723552f17644d96e419eed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.038ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \delta ^{n}\colon G^{n}(A'')\to G^{n+1}(A')}" loading="lazy"> gibt, so dass die lange Folge

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\to G^{0}(A')\to G^{0}(A)\to G^{0}(A'')\to G^{1}(A')\to G^{1}(A)\to G^{1}(A'')\to G^{2}(A')\to \ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7654302d7fc9c625ba0ee3ca38d53e1424b67dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:82.16ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 0\to G^{0}(A')\to G^{0}(A)\to G^{0}(A'')\to G^{1}(A')\to G^{1}(A)\to G^{1}(A'')\to G^{2}(A')\to \ldots }" loading="lazy"></dd></dl>

exakt ist. Genau genommen sollte man sogar die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7c8b036c6c1e62d9778fbdcbb38274a440c95e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.272ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta ^{n}}" loading="lazy"> mit zu den Daten eines δ-Funktors zählen,

wodurch sich insgesamt ein Funktor von der Kategorie kurzer exakter Sequenzen in die Kategorie langer exakter Sequenzen ergibt.

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{*}F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{*}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c7f8ddf8470f0903a48530ae4a965d1e1431c78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.559ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{*}F}" loading="lazy"> <a href="Universelle_Eigenschaft" title="Universelle Eigenschaft">universell</a> unter den δ-Funktoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3885f050db0d7715ebeba11a07383eb252b2da6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.881ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle G^{*}}" loading="lazy">

mit <a href="Nat%C3%BCrliche_Transformation" title="Natürliche Transformation">natürlicher Transformation</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\to G^{0}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\to G^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e1a78f595b1832bb2857587a57ef53f3b71868c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.236ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle F\to G^{0}}" loading="lazy">, d. h. es gebe eine natürliche Transformation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\to R^{0}F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\to R^{0}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95efb12524d3b6a7e612fede0c8eec0f2853fc37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.914ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle F\to R^{0}F}" loading="lazy"> und zu jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3885f050db0d7715ebeba11a07383eb252b2da6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.881ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle G^{*}}" loading="lazy">, das seinerseits eine natürliche Transformation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\to G^{0}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\to G^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e1a78f595b1832bb2857587a57ef53f3b71868c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.236ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle F\to G^{0}}" loading="lazy"> besitzt, eindeutig bestimmte natürliche Transformationen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{n}F\to G^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n}F\to G^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b959f3daad265bdedcb7864ebf3f4356c0b730fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.383ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{n}F\to G^{n}}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">, so dass die entsprechenden langen exakten Folgen kompatibel sind.

Dann heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{n}F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24fcba2b908bc0c009d05544643065677907e372.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.723ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{n}F}" loading="lazy"> der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-te (rechts-)abgeleitete Funktor von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Existenz_und_Berechnung">Existenz und Berechnung</h2></div>

Es gilt: Besitzt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> genügend viele injektive Objekte, so existieren die abgeleiteten Funktoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{n}F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24fcba2b908bc0c009d05544643065677907e372.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.723ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{n}F}" loading="lazy">.

Hierbei bedeutet genügend viele injektive Objekte, dass es zu jedem Objekt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in \operatorname {Ob} (C)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in \operatorname {Ob} (C)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36d6fd26246104836f86a6d11cfcf2eed61a427f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.26ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\in \operatorname {Ob} (C)}" loading="lazy"> ein injektives Objekt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fad11afeef762471a89c8a258282a40af27d6516.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.488ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{A}}" loading="lazy"> und einen Monomorphismus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\to I_{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\to I_{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aab29c5bf586526d556cfe4cff73df37c433d3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A\to I_{A}}" loading="lazy"> gibt.

Es sei zu jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ein solches <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fad11afeef762471a89c8a258282a40af27d6516.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.488ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{A}}" loading="lazy"> fest gewählt und es gelte der Einfachheit halber <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{A}=A}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{A}=A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9132587d736ff2d183978c002a0aeca61040add1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.329ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{A}=A}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> bereits injektiv ist.

Dann können wir <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{0}:=F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{0}:=F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a8ac191096e9afa5b5536232838d53a92c4015a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.304ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R^{0}:=F}" loading="lazy"> setzen sowie (vgl. oben) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{n}F(I):=0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n}F(I):=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a45286052d5d28af5946109f037e481a08f2c4a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.612ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R^{n}F(I):=0}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>0}" loading="lazy"> und injektive <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> und erhalten dann

aus der kurzen exakten Sequenz

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\to A\to I_{A}\to I_{A}/A\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11f0853b893a6fb276bffca9c6545a0dad04de0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.406ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0\to A\to I_{A}\to I_{A}/A\to 0}" loading="lazy"></dd></dl>

die zu bildende lange exakte Sequenz

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\to F(A)\to F(I_{A})\to F(I_{A}/A)\to R^{1}F(A)\to 0\to R^{1}F(I_{A}/A)\to R^{2}F(A)\to 0\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0a3290a1904165621fecf709eaedbab5a9d89dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:83.77ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 0\to F(A)\to F(I_{A})\to F(I_{A}/A)\to R^{1}F(A)\to 0\to R^{1}F(I_{A}/A)\to R^{2}F(A)\to 0\ldots }" loading="lazy">,</dd></dl>

welche

<msup>

</mrow>

</msup>

<mi>coker</mi>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{1}F(A):=\operatorname {coker} (F(I_{A})\to F(I_{A}/A))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b88f34ebd76acee68f4a285076ac13c1fa52df0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.628ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R^{1}F(A):=\operatorname {coker} (F(I_{A})\to F(I_{A}/A))}" loading="lazy"></dd></dl>

sowie

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n+1}F(A)\,:=\,R^{n}F(I_{A}/A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da4f09726798b161e203a63817cf099c1a7ec834.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.822ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R^{n+1}F(A)\,:=\,R^{n}F(I_{A}/A)}" loading="lazy"></dd></dl>

nahelegt.

Um alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{n}F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24fcba2b908bc0c009d05544643065677907e372.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.723ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{n}F}" loading="lazy"> zu Funktoren zu machen, muss man noch die Wirkung auf Homomorphismen untersuchen, wobei es genügt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{1}F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{1}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3180f0a541deddc2f4ad048e9604eba30ecbff8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.559ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R^{1}F}" loading="lazy"> zu betrachten.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"> ein Homomorphismus, so lässt sich dieser (in nicht eindeutiger Weise!) fortsetzen, so dass man ein kommutatives Diagramm

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}0\to &A&\to &I_{A}&\to &I_{A}/A&\to &0\\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0\to &B&\to &I_{B}&\to &I_{B}/B&\to &0\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7245718a29fca159d785d7b2d0472af83e12299.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:38.971ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}0\to &A&\to &I_{A}&\to &I_{A}/A&\to &0\\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0\to &B&\to &I_{B}&\to &I_{B}/B&\to &0\end{matrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

erhält, welches ein Diagramm

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}0\to &F(A)&\to &F(I_{A})&\to &F(I_{A}/A)&\to &R^{1}F(A)&\to &0\\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0\to &F(B)&\to &F(I_{B})&\to &F(I_{B}/B)&\to &R^{1}F(B)&\to &0\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ef32671382f6a320840432fa656dd6639cb1d25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:64.722ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}0\to &F(A)&\to &F(I_{A})&\to &F(I_{A}/A)&\to &R^{1}F(A)&\to &0\\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0\to &F(B)&\to &F(I_{B})&\to &F(I_{B}/B)&\to &R^{1}F(B)&\to &0\end{matrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

induziert.

Dass hierbei wenigstens der rechte senkrechte Pfeil eindeutig ist (und somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{1}F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{1}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3180f0a541deddc2f4ad048e9604eba30ecbff8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.559ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R^{1}F}" loading="lazy"> in der Tat einen Funktor definiert),

weist man durch <a href="Diagrammjagd" class="mw-redirect" title="Diagrammjagd">Diagrammjagd</a> nach. Denn falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> der Nullhomomorphismus ist,

faktorisiert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{A}/A\to I_{B}/B}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{A}/A\to I_{B}/B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4375d3882c0e2a1cb7591ccb24c3e7718b754c07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.437ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I_{A}/A\to I_{B}/B}" loading="lazy"> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{B}\to I_{B}/B}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{B}\to I_{B}/B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94a0d760fb052feed627a8867de5ec86d645c3e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.546ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I_{B}\to I_{B}/B}" loading="lazy">, d. h. man kann das ursprüngliche Diagramm um eine Diagonale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{A}/A\to I_{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{A}/A\to I_{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02fc0104f2a6c7767a465647b4ba11539241b155.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.51ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I_{A}/A\to I_{B}}" loading="lazy"> kommutativ ergänzen, infolgedessen ebenso das zweite Diagramm um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(I_{A}/A)\to F(I_{B})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(I_{A}/A)\to F(I_{B})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6732d076d2e7aa963fd6fc00c01a2e5a03ae000e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.61ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(I_{A}/A)\to F(I_{B})}" loading="lazy">, woraus sich wiederum rechts der Nullhomomorphismus ergibt.

Alternativ bildet man eine <a href="Injektive_Aufl%C3%B6sung" title="Injektive Auflösung">injektive Auflösung</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, d. h. eine exakte Folge

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ldots \to 0\to A\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56eee7a7b28a2cc73ad4430667a92f22a27e50c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:36.849ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ldots \to 0\to A\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \ldots }" loading="lazy"></dd></dl>

mit injektiven Objekten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f154f60f0493b12f8bdb8e8815b3153ed6ffd938.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle I^{n}}" loading="lazy"> (z. B. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I^{0}:=I_{A}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I^{0}:=I_{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0404af14f0409ca0abe4061e0671931ad3607e30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.504ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle I^{0}:=I_{A}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I^{1}:=I_{I^{0}/A}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I^{1}:=I_{I^{0}/A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/716cb57905ad018d2e16dd705235075b2fcbf292.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:11.018ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle I^{1}:=I_{I^{0}/A}}" loading="lazy"> etc.).

Man gewinnt dann alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{n}F(A)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n}F(A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f581f1e70f1b012c9b41cfc869dcaec43faf850.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.276ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R^{n}F(A)}" loading="lazy"> auf einen Schlag als

die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-te <a href="Kokettenkomplex" class="mw-redirect" title="Kokettenkomplex">Kohomologie</a> des Komplexes

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(I^{*})=(\ldots \to 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \ldots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90d10bc8ff2c53d8d90ce5669899503c1c9eccb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:52.87ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F(I^{*})=(\ldots \to 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \ldots )}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(I^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(I^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0459d02da5f3d0a8b1bdba97743a509e0af32d32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.985ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(I^{n})}" loading="lazy"> an der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ten Stelle, weshalb dies wohl die in der Literatur meistverbreitete Methode ist.

Mit dem <a href="Schlangenlemma" title="Schlangenlemma">Schlangenlemma</a> und dem <a href="Hufeisenlemma" title="Hufeisenlemma">Hufeisenlemma</a> zeigt man dann, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{*}F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{*}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c7f8ddf8470f0903a48530ae4a965d1e1431c78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.559ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{*}F}" loading="lazy"> in der Tat ein δ-Funktor ist. Durch weitere Diagrammjagden weist man nach, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{*}F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{*}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c7f8ddf8470f0903a48530ae4a965d1e1431c78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.559ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{*}F}" loading="lazy"> die universelle Eigenschaft hat.

Daher ist das Ergebnis insbesondere „im Wesentlichen“ nicht von der Wahl der injektiven Auflösung abhängig. Für die konkrete Berechnung kann man sogar anstelle einer injektiven auch eine Auflösung durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">-azyklische Objekte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M^{i}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ca8d01c874ab0936f926652def44bcbc5f43874.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.298ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle M^{i}}" loading="lazy"> verwenden (d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{n}F(M^{i})=0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n}F(M^{i})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f459265541adef7e7531af62acce2785c16d5202.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.092ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R^{n}F(M^{i})=0}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1,2,\ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1,2,\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e6fe6c942f7596c0d3ade1a83faab2e290d0927.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.609ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=1,2,\ldots }" loading="lazy"> ist bereits bekannt). Es gilt dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H^{i}(F(M^{*}))\cong R^{i}F(A)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{i}(F(M^{*}))\cong R^{i}F(A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5687135dfdb0342aafc1421ec9674a3e0fe8b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.771ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle H^{i}(F(M^{*}))\cong R^{i}F(A)}" loading="lazy">.

Entsprechend kann man Linksableitungen rechtsexakter Funktoren für Kategorien mit genügend vielen projektiven Objekten (d. h. zu jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in \operatorname {Ob} (C)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in \operatorname {Ob} (C)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36d6fd26246104836f86a6d11cfcf2eed61a427f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.26ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\in \operatorname {Ob} (C)}" loading="lazy"> existiert ein projektives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> und ein <a href="Epimorphismus" title="Epimorphismus">Epimorphismus</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P\to A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P\to A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb34a485874b0485ff44ca24fec8ed0f1f002b79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.103ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P\to A}" loading="lazy">) über <a href="Projektive_Aufl%C3%B6sung" title="Projektive Auflösung">projektive Auflösungen</a> berechnen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<ul><li>Allgemeiner sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{0}F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{0}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87fb2c29afe290aad7a05da08a88a890cf7d98c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.559ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R^{0}F}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> lediglich natürlich äquivalente Funktoren; Gleichheit ist eine Besonderheit der ersten oben angegebenen Konstruktion.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> injektiv, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{n}F(A)=0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n}F(A)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe56ede9911c8d47c21652f6b3f349459fa00fbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.537ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R^{n}F(A)=0}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8ce9ce38d06f6bf5a3fe063118c09c2b6202bfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.656ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq 1}" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> ein exakter Funktor, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{n}F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24fcba2b908bc0c009d05544643065677907e372.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.723ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{n}F}" loading="lazy"> der Nullfunktor für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8ce9ce38d06f6bf5a3fe063118c09c2b6202bfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.656ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq 1}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li><a href="Ext_(Mathematik)" title="Ext (Mathematik)">Ext</a> ist die Rechtsableitung des <a href="Hom-Funktor" title="Hom-Funktor">Hom-Funktors</a>.</li>

<li><a href="Tor_(Mathematik)" title="Tor (Mathematik)">Tor</a> ist die Linksableitung des <a href="Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorproduktes</a>.</li>

<li><a href="Garbenkohomologie" title="Garbenkohomologie">Garbenkohomologie</a> ist die Rechtsableitung des Funktors globale Schnitte.</li>

<li><a href="Gruppenkohomologie" title="Gruppenkohomologie">Gruppenkohomologie</a> ist die Rechtsableitung des Funktors Invarianten.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Peter_Hilton" title="Peter Hilton">Peter Hilton</a>: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0-8218-1657-8, Kap. 3: Properties of derived functors

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="Saunders_Mac_Lane" title="Saunders Mac Lane">Saunders Mac Lane</a>: Homology, Springer <a href="Grundlehren_der_mathematischen_Wissenschaften" title="Grundlehren der mathematischen Wissenschaften">Grundlehren der mathematischen Wissenschaften</a> Band 114 (1967), Kap XII: Derived Functors

</li>

</ol>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output table.erw-nav-zebra>tbody>:nth-child(odd){background-color:var(--dewiki-hintergrundfarbe-basis)}.mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-leiste{background-color:#f5f5f5}.mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-gruppe{background-color:#e5ecf2}.mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-leiste,.mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-gruppe{background-color:#ececec}.mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .klappleiste-inhalt>.wikitable>*>tr{border-top:2px solid #fdfdfd!important;border-bottom:2px solid #fdfdfd!important}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-leiste,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-gruppe,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-leiste,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-gruppe{background-color:#202122}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .klappleiste-inhalt .wikitable tr,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .klappleiste-inhalt .wikitable td{border-color:#101418!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .erw-nav-bild span[typeof="mw:File"] img{background-color:#c8ccd1}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-leiste,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-blau .erw-nav-gruppe,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-leiste,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erw-nav-farbschema-grau .erw-nav-gruppe{background-color:#202122}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .klappleiste-inhalt .wikitable tr,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .klappleiste-inhalt .wikitable td{border-color:#101418!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .erw-nav-bild span[typeof="mw:File"] img{background-color:#c8ccd1}}.mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .hlist .wikitable{border-top:0px!important;border-bottom:0px!important;margin-top:0!important;margin-bottom:0!important}.mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .hlist .wikitable tr:first-of-type td{border-top:0px!important}.mw-parser-output .erweiterte-navigationsleiste .hlist .wikitable tr:last-of-type td{border-bottom:0px!important}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r260755238">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output div.klappleiste{border:1px solid var(--dewiki-rahmenfarbe1);clear:both;font-size:95%;box-sizing:border-box;margin-top:1.5em;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste:after{clear:both;content:"";display:block}.mw-parser-output div.klappleiste-bild{float:left;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste-kopf{background:var(--dewiki-hintergrundfarbe5);color:var(--color-base,#202122);text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output div.klappleiste.mw-collapsed .klappleiste-bild{display:none}.mw-parser-output div.klappleiste+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+link+div.klappleiste{margin-top:-1px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="klappleiste-kopf"><a href="Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorientheorie</a><div class="erweiterte-navigationsleiste-quicklinks" style="float:left; font-weight:normal; font-size:75%; margin-left:1em; margin-right:2em; display:none;">V </div></div>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Einordnung

</td>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Typen von Kategorien

</td>

<a href="Duale_Kategorie" title="Duale Kategorie">dual</a> | <a href="Diskrete_Kategorie" title="Diskrete Kategorie">diskret</a> | <a href="Kleine_Kategorie" class="mw-redirect" title="Kleine Kategorie">klein</a> | <a href="Lokal_kleine_Kategorie" title="Lokal kleine Kategorie">lokal klein</a> | <a href="Monoidale_Kategorie" title="Monoidale Kategorie">monoidal</a> | <a href="Symmetrische_monoidale_Kategorie" title="Symmetrische monoidale Kategorie">symmetrisch monoidal</a> | <a href="Angereicherte_Kategorie" title="Angereicherte Kategorie">angereichert</a> | <a href="Ausgeglichene_Kategorie" title="Ausgeglichene Kategorie">ausgeglichen</a> | <a href="Erreichbare_Kategorie" title="Erreichbare Kategorie">erreichbar</a> | <a href="Vollst%C3%A4ndige_Kategorie" title="Vollständige Kategorie">vollständig</a> | <a href="Kovollst%C3%A4ndige_Kategorie" class="mw-redirect" title="Kovollständige Kategorie">kovollständig</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Typen von Objekten

</td>

<a href="Anfangsobjekt%2C_Endobjekt_und_Nullobjekt" title="Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt">initial</a> | <a href="Anfangsobjekt%2C_Endobjekt_und_Nullobjekt" title="Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt">terminal</a> | <a href="Anfangsobjekt%2C_Endobjekt_und_Nullobjekt" title="Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt">null</a> | <a href="Injektives_Objekt" title="Injektives Objekt">injektiv</a> | <a href="Projektives_Objekt" title="Projektives Objekt">projektiv</a> | <a href="Generator_und_Kogenerator" title="Generator und Kogenerator">Generator</a> | <a href="Kogenerator" class="mw-redirect" title="Kogenerator">Kogenerator</a> | <a href="Ind-Objekte_und_Pro-Objekte" title="Ind-Objekte und Pro-Objekte">Pro</a> | <a href="Ind-Objekte_und_Pro-Objekte" title="Ind-Objekte und Pro-Objekte">Ind</a> | <a href="Gruppenobjekt" title="Gruppenobjekt">Gruppe</a> | <a href="Monoid-Objekt" title="Monoid-Objekt">Monoid</a> | <a href="Exponentiales_Objekt" title="Exponentiales Objekt">exponential</a> | <a href="Freies_Objekt" title="Freies Objekt">frei</a> | <a href="Kompaktes_Objekt" title="Kompaktes Objekt">kompakt</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Typen von Morphismen

</td>

<a href="Monomorphismus" title="Monomorphismus">Mono</a> | <a href="Epimorphismus" title="Epimorphismus">Epi</a> | <a href="Bimorphismus" title="Bimorphismus">Bi</a> | <a href="Retraktion_und_Koretraktion" title="Retraktion und Koretraktion">Retraktion</a> | <a href="Koretraktion" class="mw-redirect" title="Koretraktion">Koretraktion</a> | <a href="Injektive_Aufl%C3%B6sung" title="Injektive Auflösung">Injektive Auflösung</a> | <a href="Projektive_Aufl%C3%B6sung" title="Projektive Auflösung">Projektive Auflösung</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 1px solid #FFF;padding: 0 1em;">Typen von Funktoren

</td>

<a href="Konstanter_Funktor" title="Konstanter Funktor">konstant</a> | <a href="Voller_Funktor" class="mw-redirect" title="Voller Funktor">voll</a> | <a href="Treuer_Funktor" title="Treuer Funktor">treu</a> | <a href="Volltreuer_Funktor" class="mw-redirect" title="Volltreuer Funktor">volltreu</a> | <a href="Additiver_Funktor" title="Additiver Funktor">additiv</a> | <a href="Exakter_Funktor" title="Exakter Funktor">exakt</a> | <a class="mw-selflink selflink">abgeleitet</a> | <a href="Glatter_Funktor" title="Glatter Funktor">glatt</a>

</td></tr>

</tbody></table></div>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Konstruktionen

</td>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;"><a href="Limes_(Kategorientheorie)" title="Limes (Kategorientheorie)">Limes</a>

</td>

<a href="Produkt_und_Koprodukt" title="Produkt und Koprodukt">Produkt</a> | <a href="Differenzkern" title="Differenzkern">Differenzkern</a> | <a href="Faserprodukt" title="Faserprodukt">Faserprodukt</a> | <a href="Ende_(Kategorientheorie)" title="Ende (Kategorientheorie)">Ende</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 1px solid #FFF;padding: 0 1em;"><a href="Kolimes" title="Kolimes">Kolimes</a>

</td>

<a href="Filtrierter_Kolimes" title="Filtrierter Kolimes">Filtrierter Kolimes</a> | <a href="Koprodukt" class="mw-redirect" title="Koprodukt">Koprodukt</a> | <a href="Differenzkokern" title="Differenzkokern">Differenzkokern</a> | <a href="Kofaserprodukt" class="mw-redirect" title="Kofaserprodukt">Kofaserprodukt</a>

</td></tr>

</tbody></table>

<a href="Kan-Erweiterung" title="Kan-Erweiterung">Kan-Erweiterung</a> | <a href="Monade_(Kategorientheorie)" title="Monade (Kategorientheorie)">Monade</a> | <a href="Komonade" title="Komonade">Komonade</a> | <a href="Kategorie_der_Elemente" title="Kategorie der Elemente">Kategorie der Elemente</a> | <a href="Kommakategorie" title="Kommakategorie">Kommakategorie</a> | <a href="Pfeilkategorie" title="Pfeilkategorie">Pfeilkategorie</a> | <a href="Homotopie-Kategorie" title="Homotopie-Kategorie">Homotopie-Kategorie</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 2px solid #FFF;padding: 0 1em;">Resultate

</td>

<a href="Lemma_von_Yoneda" title="Lemma von Yoneda">Lemma von Yoneda</a> | <a href="Fixpunktsatz_von_Lawvere" title="Fixpunktsatz von Lawvere">Fixpunktsatz von Lawvere</a> | <a href="Einbettungssatz_von_Mitchell" title="Einbettungssatz von Mitchell">Einbettungssatz von Mitchell</a>

</td></tr>

<tr>

<td class="erw-nav-gruppe" style="white-space: nowrap;text-align: right;border: 1px solid transparent;border-top: 1px solid #FFF;border-bottom: 1px solid #FFF;padding: 0 1em;">Spezielle Funktoren

</td>

<a href="Hom-Funktor" title="Hom-Funktor">Hom-Funktor</a> | <a href="Potenzmengenfunktor" title="Potenzmengenfunktor">Potenzmengenfunktor</a> | <a href="Diagonalfunktor" title="Diagonalfunktor">Diagonalfunktor</a> | <a href="Ext-Funktor" class="mw-redirect" title="Ext-Funktor">Ext</a> | <a href="Tor-Funktor" class="mw-redirect" title="Tor-Funktor">Tor</a>

</td></tr>

</tbody></table></div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2024-09-27" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Abgeleiteter_Funktor&oldid=248932997">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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</div></div>

</div>

</main>

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